נושא: שאלה המזכה 5 נקודות

∑n²  = ?

(a + b)³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³                    לפי:

(1 + 1)³ = 1³ + 3·1²·1 + 3·1·1² + 1³               מתקיים:

(2 + 1)³ = 2³ + 3·2²·1 + 3·2·1² + 1³

(3 + 1)³ = 3³ + 3·3²·1 + 3·3·1² + 1³

     .           .         .             .         .

     .           .         .             .         .

     .           .         .             .         .

(n + 1)³ = n³ + 3·n²·1 + 3·n·1² + 1³

נחבר את השוויונים לפי אגפיהם, נקבל:

(1 + 1)³ + (2 + 1)³ + (3 + 1)³ + … + (n + 1)³ = 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ + 3(1² + 2² + 3² + … + n²) +  3(1 + 2 + 3 + … + n) + n·1³

 נצמצם ביטויים זהים משני האגפים,

{   (1 + 1)³  ו-  2³   ,   (2 + 1)³ -ו  3³   ,   ((n+1) – 1)³ ו-  n³   }

 ונעזר בסכום של סדרה חשבונית:

 { s(n) = n(n + 1)/2 }

נקבל:                                                                                               

(n + 1)³ =  1³ + 3(1² + 2² + 3² + … + n²) + 3·n(n + 1)/2 + n

3(1² + 2² + 3² + … + n²) = (n + 1)³ - (n + 1) - 3·n(n + 1)/2

3(1² + 2² + 3² + … + n²) = (n + 1)·[ (n + 1)² - 1 – 3/2n]

1² + 2² + 3² + … + n² = 1/3· [(n + 1)·(n² + 1/2n)]

1² + 2² + 3² + … + n² = n/3· [(n + 1)·(2n + 1)/2]

1² + 2² + 3² + … + n² = [n(n + 1)(2n + 1)]/6         מש"ל          

∑n³ = ?

(a + b)⁴ = a⁴ + 4·a³·b + 6·a²·b² + 4·a·b³ + b⁴           :לפי  

(1 + 1)⁴ = 1⁴ + 4·1³·1 + 6·1²·1² + 4·1·1³ + 1⁴     :מתקיים         

(2 + 1)⁴ = 2⁴ + 4·2³·1 + 6·2²·1² + 4·2·1³ + 1⁴              

(3 + 1)⁴ = 3⁴ + 4·3³·1 + 6·3²·1² + 4·3·1³ + 1⁴     

     .           .         .            .              .         .    

     .           .         .            .              .         .    

     .           .         .            .              .         .       

(n + 1)⁴ = n⁴ + 4·n³·1 + 6·n²·1² + 4·n·1³ + 1⁴    

נחבר את השוויונים לפי אגפיהם, נקבל:

(1 + 1)⁴ + (2 + 1)⁴ + (3 + 1)⁴ + … + (n + 1)⁴ =  1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + … + n⁴  +   4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³)  + 

   6(1² + 2² + 3² + … + n²)  + 4(1 + 2 + 3 + … + n) + n·1⁴

 נצמצם ביטויים זהים משני האגפים,

{   (1 + 1)⁴  ו-  2⁴   ,   (2 + 1)⁴ -ו  3⁴   ,   ((n+1) – 1)⁴ ו-  n⁴   }

נעזר בתוצאת הסעיף הקודם:

1² + 2² + 3² + … + n² = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

 ונעזר גם בסכום של סדרה חשבונית:

 { s(n) = n(n + 1)/2 }

נקבל:                                                                                               

(n + 1)⁴ = 1⁴ + 4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³) + 6·[n(n + 1)(2n + 1)]/6 +4· n(n + 1)/2 + n

(n + 1)⁴ = 1⁴ + 4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³) + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n

4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³) = (n + 1)⁴ - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) – (n+1)

4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³) = (n+1)·[(n+1)³ - n(2n+1) - 2n - 1]

4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³) = (n+1)·[(n³ + 3n² + 3n + 1- 2n² - n - 2n - 1]

4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³) = (n+1)·[(n³ + 3n² - 2n² + 3n - n - 2n + 1 - 1]

4(1³ + 2³ + 3³ + … + n³) = (n + 1)·(n³ + n²)

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = [n²(n + 1)·(n + 1)]/4