נושא: שאלה שמציקה לי הרבה - מתמטיקה

נשלח בתאריך: 30 April 2006 בשעה 20:45 | IP רשוּם

טוב השאלה שלי היא כזאת,

כולם יודעים שאינסוף + אינסוף = אינסוף

אבל כמה שווה אינסוף-אינסוף = ?

נשלח בתאריך: 01 May 2006 בשעה 16:55 | IP רשוּם

תלוי. אם 2 האינסופים שווים, אזי אינסוף-עצמו=כלום. (בתורת הקבוצות מסמנים את זה כך: כאשר A=B אזי: הקבוצה הריקה={} =A\B).

אם האינסופית שונים לחלוטין אזי אינסוף-אינסוף=אינסוף (A\B=A).

אם יש להם חלקים שווים- אז תלוי כמה אברים יש ב-A שאינם ב-B. אם סכומם הוא אינסופי, התוצאה אינסופית. אם סך האיברים הוא מספר טבעי- התוצאה סופית.

לדוגמא:

תהי N קבוצת המספרית הטבעיים, ו-A קבוצת המספרים הטבעיים בלי המספר 1. הקבוצה N פחות הקבוצה A היא הקבוצה {1}, שזו קבוצה סופית. (אינסוף-אינסוף=קבוצה סופית.)

אבל אם נניח כי A היא קבוצה שבה נמצאים כל המספרים הטבעיים הזוגיים, אזי N פחות A זו קבוצת הטבעיים האי-זוגיים, שזו קבוצה אינסופית. (אינסוף-אינסוף=אינסוף.)

נשלח בתאריך: 01 May 2006 בשעה 23:29 | IP רשוּם

לפי דעתי 0 בגלל שכול מספר פחות עצמו שווה ל 0

אז נגיד אין סוף = a

אז a-a=0

נשלח בתאריך: 02 May 2006 בשעה 07:58 | IP רשוּם

אינסוף זה לא מספר, זה קבוצה. 

0 זה לא "מספר אינסופי"- זה מספר טבעי, סופי (זה עצמה של קבוצה ריקה).

לומדים את כל זה בתורת הקבוצות, והתשובה הנכונה היא מה שכבר כתבתי קודם- תלוי מה האברים המשותפים לשני האינסוף.

נשלח בתאריך: 02 May 2006 בשעה 22:52 | IP רשוּם

לעולם לא יהיה תרגיל כזה, ולעולם לא תהיה לו תוצאה משום שאינסוף הוא לא קיים וגם אם היה קיים הוא מספר משתנה. המספר אינסוף לא נמצא בציר המספרים ולכן אי אפשר לחבר אותו, להחסיר ממנו או בכלל לעשות איתו כל פעולה מתמטית שהיא. המוח האנושי לא מסוגל לתפוס את האינסוף, והמספר גם לא נכלל בציר המספרים. לכן אפשר רק לייצג אותו בעזרת הסמל ∞ אבל לא יותר מכך.

לפיכך, ∞=∞-∞.
∞=∞+1
∞=∞-1
∞=∞*∞
∞=∞^∞
∞=∞/∞
∞=∞√

...וכן הלאה.

אנחנו משתמשים בציר ∞z, כלומר שהציר שלנו הוא אינסופי. לפיכך 3=2+1 בציר ∞z.
אבל 2+1 בציר z3, לדוגמא, ייתן 0.
למה?

ציר z3:

2 - 1 - 0

זהו, יש המשך, יש התחלה, אין פה אינסוף. מתחילים מאפס, ומתקדמים צעד אחד (מה שמורים לנו 1 וה +). עכשיו, כשנתקדם עוד צעד נגיע לשתיים, אבל ברגע שנתקדם עוד צעד נוסף - שהוא בעצם 1 ועוד 2 - נגיע לאפס.
לפיכך, 0=1+2 (z3)

לעומת זאת,
3=1+2 (∞z)
לפיכך,
∞=∞+∞ (∞z)

עוד ציר שמוכר לנו חוץ מ- ∞z הוא z12 - שעון... בעצם בכל ציר שהוא לא ציר ∞z כל המספרים באים בלופ. חוזרים על המעגל, אבל בגלל שלאינסוף אי אפשר להגיע - התשובה תמיד תהיה הערך עצמו - ∞.

מקווה שעניתי על השאלה. (:

נ.ב.: גם 1+1 זו פעולה לא חוקית (עכשיו אני לא מתחכם עם צירי Z וכל שאר הירקות). בין 1 לשתיים יש אינסוף שברים, כך שאנחנו בעצם מדלגים על אינסוף בפעולה כל כך פשוטה כגון 1+1.

נשלח בתאריך: 09 May 2006 בשעה 18:11 | IP רשוּם

אינסוף פחות אינסוף הוא לא מוגדר...

למעשה תלוי...

בדר"כ מה שעושים במקרה כזה.. זה הוצאת גורמים משותפים... ואז כבר מגיעים למספר לדוגמא:

x^2-x

כאשר x שואף לאינסוף... למעשה אנחנו מקבלים אינסוף פחות אינסוף וזה לא מוגדר אז מה שעלינו לעשות זה x(x-1)

כך אנו מקבלים אינסוף כפול אינסוף וזה שווה לאינסוף..

נשלח בתאריך: 10 May 2006 בשעה 16:48 | IP רשוּם

ע"פ קנטור יש שני סוגים של אינסוף. האחד ניקרא "א0" והוא אינסוף אשר ניתן ליצור התאמה בקבוצה זו ניכללים המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונאליים. ויש אינסוף "גדול" יותר שניקרא "א" לדוגמא המספרים האי-רציונליים אם נחסר "א0" או "א" מ- "א" תמיד נקבל אינסוף ולא סתם אינסוף אלא "א" .אם נחסר "א0" מ "א0" נוכל לקבל כל מיני תשובות מאינסוף ועד קבוצה ריקה.

נשלח בתאריך: 28 May 2006 בשעה 10:50 | IP רשוּם

מסכים איתך..

נשלח בתאריך: 19 July 2006 בשעה 02:02 | IP רשוּם

ע"פ קנטור אין רק שני סוגים של אינסוף אלא אינסוף סוגים של אינסוף...

או ביתר פירוט, אם A קבוצה בעלת עוצמה אינסופית אז לקבוצת החזקה שלה (P(A ישנה עוצמה "גדולה" יותר, ולקבוצת החזקה של קבוצת החזקה יש עוצמה עוד יותר גדולה וכך הלאה...

לכל אלו שטוענים שאינסוף לא קיים במציאות, זה נכון רק אם אתם נמצאים במסגרת של אינפי' וכדומה ששם נמנעים מלהגדיר אינסוף, אלא רק שאיפה לאינסוף. אך כמו שכבר צויין פה, בתורת הקבוצות אין את ההגבלה הזאת ומדברים על אינסוף במפורש.

בכל מקרה, אינסוף פחות אינסוף הוא ביטוי לא מוגדר (כמו 0/0, 0*∞, ∞^1, 0^0, ∞/∞ ועוד כהנה וכהנה..).

זה כל העניין בגבולות, לדעת לפענח לאן שואף ביטוי שלכאורה לא מוגדר.

נשלח בתאריך: 13 August 2006 בשעה 01:04 | IP רשוּם

אבל בתורת הקבוצות "אינסוף" מתייחס לעוצמה של קבוצה, ולא מדוברים על מספר ש"ערכו" הוא "אינסוף". לא?

נשלח בתאריך: 13 August 2006 בשעה 14:45 | IP רשוּם

נכון, אינסוף הוא לא מספר

כלומר, הוא לא מספר ממשי (לא שייך ל-R), ולא מספר מדומה (לא שייך ל-C)

אבל זה לא אומר שהוא לא קיים

כאשר אנו מגדירים בתורת הקבוצות חיבור של A+B כעוצמה של איחוד קבוצות זרות בעלות עוצמות A ו-B אנו מקבלים הכללה המתאימה גם לקבוצות אינסופיות

מכאן מתפתחת אריתמטיקה של אינסופים