נושא: יחס שקילות

יש לי שאלה ביחסי שקילות אבל אני לא בטוח שאני צודק אז אשמח לקרוא את דעותיכם ביחס לפתרון של השאלה אז השאלה כזו R וS הם שני יחסי שקילות בקבוצה לא ריקה A צריך להוכיח שגם R חיתוךS יחס שקילות

דרכי פתרון:

תניח בדרך השלילה ש- S^R אינו יחס שקילות.
תקבל סתירה בכל אחד מהתכונות הנותנות יחס שקילות. טרנזיטיביות,רפלקסיביות,
וסימטריות. ולכן בסתירה להנחה S^R חייב להיות יחס שקילות.

לחילופין אתה יכול להראות ש-S^R מקיים את שלושת התכונות הנ"ל, ואז הוא
יחס שקילות.

אבל אני יכול להראות דוגמה שאתה לא צודק נגיד הקבוצה  { A={ 1,2,3        

{(S={(1,1)(2,2)(3,3)(1,3)(3,1   ו{ ( 2,1  ) ( 1,2   )( 3,3 )( 2,2  ) ( 1,1 )} =R  אז הם שני יחסי שקילות אבל חיתוכם לא יהיה יחס שקילות תיבדוק         

השאלה היא האם חיתוך שתי הקבוצות יהיה יחס שקילות אז הבאתי דוגמא שזה לא תמיד נכון אני לא מבין מה אתה מנסה להסביר

אם תוכל תפרט בבקשה למה לדעתך לפי הדוגמה זה לא מקיים?

או מה בדוגמה מצביע על כך.

חבל לדוש בזה.
בוא אני אתן לך תפתרון וזהו אולי מזה תבין הכי טוב:

אמרנו שבכדי להוכיח ש-S^R יחס שקילות צריך להוכיח טרנזיטיביות, רפלקסיביות, וסימטריות.
נתונים: S ו-R יחסי שקילות לכן מקיימים את התכונות לעיל.

הוכחה:

1.רפלקסיבי: 
אם איבר a נמצא בקבוצת החיתוך S^R אזי ש: aES  וגם aER לכן מרפלקסיביות נובע
a,a)ER) וגם a,a)ES) ולכן a,a)ES^R).

2.סימטרי:
אם הזוג b,a נמצא בקבוצת החיתוך S^R אזי ש: b,a)ER) וגם b,a)ES) ולכן
מסימטריות נובע a,b)ER) וגם a,b)ES) ולכן a,b)ES^R).

3.טרנזיטיבי:
אם הזוג b,a והזוג c,b נמצאים בקבוצת החיתוך S^R אזי ש: b,a)ER) ו c,b)ER) וגם
b,a)ES) ו c,b)ES) ולכן מטרנזיטיביות נובע c,a)ER) וגם c,a)ES) ולכן c,a)ES^R).

כיוון שהוכחנו את קיום התכונות הנ"ל ביחס S^R נוכל לטעון כי הוא יחס שקילות.
מש"ל.

ז'אק נראה לי שהתבלבלת טיפה באיך מוכיחים או מפריכים יחס שקילות.

כאשר קיים יחס שקילות על קבוצה מסויימת זה לא אומר שחייבים להופיע איברים המצביעים
באופן ישיר על התכונות.

מצד שני כאשר נתונה קבוצה שהתקבלה ע"י היחס (מחלקת שקילות), ואתה רוצה להראות
שהיחס איננו יחס שקילות בעזרת הקבוצה, אז אתה צריך להראות שקיים זוג מסויים בקבוצה
שסותר את אחת התכונות. 

לדוגמה:
אם נתונה קבוצה המתקבלת ע"י יחס מסויים מעל הקבוצה { A={ 1,2,3, וצריך להוכיח
שהיחס הוא יחס שקילות, ונאמר שהקבוצה מכילה את הזוגות הבאים: {(1,2)(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)}.
אז הדרך להביא דוגמה נגדית מהקבוצה היא כך:

1. היחס איננו רפלקסיבי כיוון ש-3 נמצא בקבוצה A אך הזוג (3,3) חסר ביחס. או
2. היחס איננו סימטרי כיוון שקיים הזוג (1,2) אך לא הזוג (2,1). או
3. היחס איננו טרנזיטיבי כיוון שקיים הזוג (1,2) והזוג (3,1) ולא קיים הזוג (3,2)
    או לחילופין קיים הזוג (1,3) והזוג (3,1) ולא קיים הזוג (3,3).
(ה-"או" הוא כיוון שלא צריך להמשיך אחרי שהפרכנו אחת מן התכונות) 

מהקבוצה שאתה הבאת לא ניתן להסיק בוודאות כלום, מה עוד שקיים יחס שקילות מוכר וידוע
שמניב את אותה הקבוצה {(1,1)(2,2)(3,3)}. היחס הזה הוא היחס '=' שהוא יחס שקילות ללא עוררין.

קשה להסביר זאת באופן חד משמעי בלי לתת דוגמה מפורשת, לכן דוגמה:

אפשר לקחת את יחס השקילות '=' מעל שתי תתי קבוצות שונות, יחס זה אומר שבין
כל זוג במחלקת השקילות (a,b) מתקיים a=b  :

תת קבוצה של הטיבעיים: A
{ A={ 1,2,3 | היחס מניב את הזוגות הסדורים הבאים:
{(1,1)(2,2)(3,3)}.
במחלקת השקילות שנוצרה רואים אך ורק 2 תכונות, באופן מפורש רפלקסיביות, ומרומז סימטריות.
זאת למרות שהיחס הוא יחס שקילות מעל קבוצת הטיבעיים בכלל ובפרט מעל A.

תת קבוצה של הרציונליים: B
{ B={ 1/2,2/4 | היחס מניב את הזוגות הסדורים הבאים:
{(2/4,1/2)(1/2,2/4)(2/4,2/4)(1/2,1/2)}.
במחלקת השקילות שנוצרה רואים את כל התכונות, באופן מפורש רפלקסיביות וסימטריות, ובאופן מרומז טרנזיטיביות.
לכן ניתן לקבוע ישר שהיחס הוא יחס שקילות מעל הקבוצה הנתונה B.

תשמע תחזור על החומר, רלציות זה חומר מאד מורכב והשאלה שאתה הצגת פה היא
עוד מן היותר פשוטות שניתן לתת.

תקרא את מה שכתבתי!!!

אני לא אמרתי ולא כתבתי בשום מקום שהיחס הזה {(1,1)(2,2)(3,3)}
הוא סימטרי וטרנזיטיבי בגלל ש:

1.זה לא יחס!!! זה קבוצה שמתקבלת ע"י היחס שנקראת מחלקת שקילות.
2.מה לא הבנת ב-"זה לא אומר שחייבים להופיע איברים המצביעים באופן ישיר על התכונות."???

אם אתה מחפש "לראות" שהיחס '=' הוא יחס שקילות ע"י מחלקת השקילות שלו יש לך בעיה רצינית!!!
זה משהו שאמור לבוא לך בטבעיות זה אומר: 
שאתה לא מבין איך מוכיחים יחס!!! ומהשאלות שלך אתה לא מבין מה יחס אומר בכלל!!!

לך תקרא את החומר אני לא פה בשביל לפתור לך את שיעורי בית!!!