נושא: תורת מספרים

נשלח בתאריך: 13 February 2006 בשעה 21:05 | IP רשוּם

שלום לכולם,

1.יהי p מספר ראשוני הגדול מ-5 . הוכח : p^4-1|240 .

הערה חשובה (אני מתכווונת להפך ז"א 240 מצד שמאל ו- (p^4-1 ) מצד ימין אבל לא יכלתי לכתוב את זה , לכן שימו לב לזה פלייייייייייז  ותהפכו אותם בפתרון, ממכם הסליחה)

2. יהי a ו- b מספרים אי-זוגיים. הוכח : 8|a^2-b^2.

(גם פה אני מתכווונת להפך ז"א שה- 8 מצד שמאל ו-(a^2-b^2) מצד ימין).

3.הראה כי המספר 40320 מחלק מכפלה של 8 מספרים עוקבים.

תודה לעזרתכם

ביייי

נשלח בתאריך: 15 February 2006 בשעה 03:35 | IP רשוּם

פתרון ל2:

על פי כפל מקוצר

a^2-b^2=(a+b)(a-b)zzz

מאחר וa,b מאותה זוגיות (שניהם זוגיים או שניהם אי זוגיים), אזי סכומם והפרשם מתחלקים ב2, ולכן הביטוי מתחלק ב4.

נציב a=2k+1,b=2n+1 בביטוי המקורי.

a^2-b^2=(4k^2+4k+1)-(4n^2+4n+1)=4(n^2-k^2)+4(n-k)zzz

אם n וk מאותה זוגיות, אז גם n^2-k^2 וגם n-k יתנו ביטוי זוגי, שכפול 4 יתחלק ב8 -> מש"ל

אם n וk מזוגיות שונה, אז גם n^2-k^2 וגם n-k יתנו ביטוי אי זוגי, וסכומם ייתן ביטוי זוגי, ומאחר ואנחנו כופלים ב4, הכל יתחלק ב8 -> מש"ל.

פתרון ל1:

אני מקווה שאת יודעת את המשפט הקטן של פרמה אם את מתעסקת עם תורת המספרים

a^p -a מתחלק בp לכל p ראשוני.

אם a לא מתחלק בp אז אפשר לומר ש

a^(p-1) -1 מתחלק בp.

מאחר ובמקרה שלנו, a עצמו הוא ראשוני, הוכחנו שp^4-1 מתחלק ב5.

מצד שני

p^4 -1=(p^2 -1)(p^2 + 1)=(p-1)(p+1)(p^2+1)zzz

אחד מכל 3 מספרים עוקבים מתחלק ב3,

p לא מתחלק ב3 כי הוא ראשוני גדול מ5, לכן המכפלה (p-1)(p+1) מתחלקת ב3.

וכעת, מאחר ו240=5*3*16, נותר לי להסביר מדוע הביטוי מתחלק ב16.

ברור שאם p ראשוני גדול 5, אזי p אי זוגי, וברור שגם p^2 אי זוגי.

לכן מתקיימים שני דברים

א. p^2 +1 מתחלק ב2

ב. p^2 -1 מתחלק ב8 על פי שאלה 2

לכן כל הביטוי

p^4 -1=(p^2 -1)(p^2 + 1)=(p-1)(p+1)(p^2+1)zzz

מתחלק ב16, ב3 וב5 ועל כן מתחלק גם ב240.

נשלח בתאריך: 15 February 2006 בשעה 03:44 | IP רשוּם

פתרון ל3

השאלה הזו הרבה פחות מעניינת מהקודמות לה,

אחד מכל k מספרים עוקבים מתחלק בk, אני מניח שאין צורך להסביר את זה.

לכן, אם מתבוננים בk מספרים עוקבים, מכפלתם מתחלקת בהכרח בk.

אבל מכפלת k מספרים עוקבים כוללת בתוכה מכפלה של k-1 מספרים עוקבים,

וכן הלאה....

לכן מכפלת k מספרים עוקבים מתחלקת בk(k-1)(k-2)*...*2, או בקיצור k!.

במקרה שלנו, עבור k=8, אזי כל מכפלת 8 מספרים עוקבים מתחלקת ב8 עצרת, שזה במקרה 40320.

נשלח בתאריך: 16 February 2006 בשעה 01:11 | IP רשוּם

שלום clocker מצטערת אבל עדיין לא למדתי את המשפט של פרמה, תוכל לפתור בדרך אחרת?

נשלח בתאריך: 16 February 2006 בשעה 12:23 | IP רשוּם

אז יש לך משהו קטן לעשות בעצמך,

תוכיחי באינדוקציה ש

n^5-n מתחלק ב5.

ואז לא תצטרכי את המשפט הקטן של פרמה.

ומאוד מאוד מאוד מאוד מומלץ, ללמוד את המשפט הקטן של פרמה.

נשלח בתאריך: 19 February 2006 בשעה 14:08 | IP רשוּם

*OFF TOPIC*

אם את רוצה שאנשים יעזרו לך - המינימום שאת צריכה לעשות זה להגיד תודה...

אולי זה רק אני - אבל זה לא נראה טוב.