הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

6.3.2. הוכחת שימושיות ההגדרה

נראה כי ההגדרה טובה – כלומר שבהנתן קבוצת גרעין plot:\[B\] וקבוצת פעולות plot:\[F\] קיימת קבוצה העונה על הדרישות 1-3 והיא יחידה.

הוכחת קיום

נגדיר: { plot:\[X\] עונה על דרישות 1, 2 | plot:\[X\] } = A.

הקבוצה A איננה ריקה, כי הקבוצה מעליה אנו עוברים (התחום, העולם) נמצאת בפנים.

נגדיר: plot:\[{X^*} =  \cap A\]. נראה כי plot:\[{X^*}\] עונה על דרישות plot:\[1 - 3\].

דרישה 1: צ"ל כי plot:\[B \subseteq {X^*}\].

לכל plot:\[X \in A\] מתקיים כי plot:\[X\] עונה על דרישה 1, ולכן plot:\[B \subseteq X\] ולכן plot:\[B \subseteq  \cap A = {X^*}\].

דרישה 2: סגירות תחת plot:\[F\].

ראינו קודם שאם plot:\[A\] מכילה קבוצות שסגורות תחת plot:\[F\], מתקיים שגם plot:\[ \cap A\] סגורה תחת plot:\[F\].

דרישה 3: צ"ל שכל האיברים הכרחיים לקיום דרישות 1, 2:

נניח בשלילה שקיים plot:\[g \in {X^*}\] שאינו הכרחי לקיום דרישות 1, 2. קיימת קבוצה plot:\[x\] שעונה על דרישות plot:\[1,2\] כך ש-plot:\[g \notin x\]. מתקיים plot:\[x \in A\] כי plot:\[x\] עונה על דרישות 1, 2. plot:\[g \notin  \cap A = {X^*} \Leftarrow g \notin x\] בסתירה לכך שהנחנו כי plot:\[g \in {X^*}\]. מכאן שקיימת קבוצה שעונה על דרישות 1-3.

הוכחת יחידות

לפי ההגדרה כל קבוצה plot:\[X\] המקיימת את דרישות plot:\[1,2\] מכילה את plot:\[{X^*}\].

נניח בשלילה שקיימת plot:\[X'\] שעונה על דרישות plot:\[1 - 3\], כך ש-plot:\[X' \ne {X^*}\].

plot:\[X'\] עונה על דרישות plot:\[1,2\] ולכן plot:\[{X^*} \subseteq X'\]. מאחר ו-plot:\[X' \ne {X^*}\] הרי שב-plot:\[X'\] יש איברים נוספים. האיברים האלו אינם הכרחיים לקיום דרישות plot:\[1,2\], בסתירה לכך ש-plot:\[X'\] מקיימת את 3, כלומר plot:\[{X^*}\] מקיימת את הדרישות 1-3 והיא יחידה.

מסקנה – משפט ההוכחה באינדוקציה

כל קבוצה plot:\[X\] שמקיימת את דרישות 1, 2 מקיימת plot:\[{X_{B,F}} \subseteq X\].

לפיכך, על מנת להוכיח שקבוצה plot:\[Y\] מקיימת כי plot:\[{X_{B,F}} \subseteq Y\] מספיק להראות כי:

1. plot:\[B \subseteq Y\].

2. plot:\[Y\] סגורה ל-plot:\[F\].

תגיות המסמך:

לפרק הקודם6.3.1. הגדרת קבוצות מורכבות – הגדרה באינדוקציה
לפרק הבא6.3.3. סדרת יצירה
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד