הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

5.7.5. טענה 2

נטען: plot:\[\left| \mathbb{R} \right| = \left| {P\left( \mathbb{N} \right)} \right|\].

ההוכחה תעשה בשני שלבים:

1. נראה כי plot:\[\left( {0,1} \right)\~P\left( \mathbb{N} \right)\].

2. נראה כי  plot:\[\left( {0,1} \right)\~\mathbb{R}\].

1.

מספיק למצוא plot:\[f:\left( {0,1} \right) \to P\left( \mathbb{N} \right)\] חח"ע ו-plot:\[g:P\left( \mathbb{N} \right) \to \left( {0,1} \right)\] חח"ע ולפי משפט קנטור-ברנשטיין יובטח לנו קיום פונקציה plot:\[h:\left( {0,1} \right) \to P\left( \mathbb{N} \right)\] חח"ע ועל.

plot:\[f\]: בהינתן plot:\[r = 0.{r_1}{r_2}{r_3}... \in \left( {0,1} \right)\], כאשר plot:\[\forall i\] מתקיים plot:\[{r_i} \in \left\{ {0,...,9} \right\}\] ובמספר אין סדרת plot:\[\dot 9\] אינסופית, נגדיר את plot:\[f\] בצורה הבאה: plot:\[f\left( r \right) = \left\{ {{r_1},10 + {r_2},100 + {r_3},...} \right\}\].

נראה כי plot:\[f\] חח"ע: יהיו שני מספרים plot:\[r \ne s\]. קיים plot:\[{r_i} \ne {s_i}\]. ויתקיים: plot:\[{10^{i - 1}} + {r_i} \in f\left( r \right),{10^{i - 1}} + {r_i} \in f\left( s \right)\].



plot:\[g\]: בהינתן plot:\[B \subseteq \mathbb{N}\] נגדיר את plot:\[g\] בצורה הבאה: plot:\[g\left( B \right) = 0.{b_1}{b_2}{b_3}...\], כך ש:

plot:\[{b_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    2 \hfill & {i \in B} \hfill  \\    0 \hfill & {else} \hfill  \\ \end{array} } \right.\]

plot:\[g\] חח"ע: בהינתן plot:\[B,C \subseteq \mathbb{N}\] כך ש-plot:\[b \ne c\] באחת מהן יש איבר שאין בשניה.

בלי הגבלת הכלליות נאמר כי plot:\[i \in B\] וגם plot:\[i \notin C\], ואז plot:\[{b_i} = 2,{c_i} = 0\] ואז המספר הממשי המייצג אותם שונה.

לכאורה plot:\[g\left( \phi  \right) = 0.000 = 0\]. האם plot:\[0 \in \left( {0,1} \right)\]? לא, ולכן נגדיר עבור plot:\[\phi  \in P\left( \mathbb{N} \right)\] את plot:\[g\] באופן מפורש, לדוגמא plot:\[g\left( \phi  \right) = 0.3\].

2.

צריך להראות ש-plot:\[\left( {0,1} \right)\~\mathbb{R}\].

נגדיר פונקציה plot:\[f\] בצורה הבאה:

plot:\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)} \hfill & {x \geqslant 0} \hfill  \\    {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)} \hfill & {x < 0} \hfill  \\ \end{array} } \right.\]

ניתן לראות כי פונקציה זו הינה חח"ע ועל.



תגיות המסמך:

לפרק הקודם5.7.4. טענה 1
לפרק הבא6. קבוצות אינדוקטיביות
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד