הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

1.7. תתי קבוצות

תהיינה A ו-B קבוצות. A נקראת תת קבוצה של B אמ"מ כל איבר ב-A הוא גם איבר ב-B,

כלומר:plot:\[x \in B \Leftarrow x \in A\]

סימון לתת קבוצה: plot:\[A \subseteq B\].

נאמר כי A מוכלת ב-B, וכי A היא קבוצה חלקית ל-B.

תכונות של הכלה

  1. לכל קבוצה A, plot:\[\varphi  \subseteq A\].
  2. לכל קבוצה A, plot:\[A \subseteq A\]. (רפלקסיביות)
  3. לכל plot:\[A,B,C\], אם plot:\[A \subseteq B\] וגם plot:\[B \subseteq C\] אזי plot:\[A \subseteq C\] (טרנזיטיביות).

אם ב-A קיים לפחות איבר אחד שאינו שייך ל-B אז A לא מוכלת ב-B ומסמנים plot:\[A \not\subset B\].

טענה

לכל 2 קבוצות A ו-B מתקיים: A=B אמ"מ plot:\[A \subseteq B\] וגם plot:\[B \subseteq A\].

הוכחה

כיוון 1: נתון A=B. צ"ל: plot:\[A \subseteq B\] וגם plot:\[B \subseteq A\].

A=Bplot:\[ \Leftarrow \]עפ"י ההגדרה: plot:\[x \in B \Leftrightarrow x \in A\]plot:\[ \Leftarrow \]\[x \in B \leftarrow x \in A\] וגם plot:\[x \in B \to x \in A\] (הגדרת הכלה) ומכאן: plot:\[A \subseteq B\] וגםplot:\[B \subseteq A\].

כיוון 2: נתון plot:\[A \subseteq B\] וגם plot:\[B \subseteq A\]. צ"ל A=B. אותה הוכחה בדיוק בכיוון ההפוך.

הגדרה - הכלה ממש

A מוכלת ממש ב-B אמ"מ plot:\[A \subseteq B\] אבלplot:\[A \ne B\]. A תת קבוצה אמיתית של B.

סימון: plot:\[A \subset B\]



תגיות המסמך:

לפרק הקודם1.6. שוויון קבוצות
לפרק הבא1.8. דיאגרמת ון
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד