הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

4.8.8. דוגמאות

1.

A קבוצת השלמים בין 0 ל-100.

plot:\[R = \left\{ {\left\langle {x,y} \right\rangle |x \equiv y(\bmod 10)} \right\}\]

רפלקסיביות: כן: plot:\[x \equiv x(\bmod 10)\]

סימטריות: כן: plot:\[x \equiv y(\bmod 10) \Rightarrow y \equiv x(\bmod 10)\]

טרנזיטיביות: כן: plot:\[\begin{gathered}   x \equiv y(\bmod 10),y \equiv z(\bmod 10) \Rightarrow  \hfill \\   x \equiv z(\bmod 10) \hfill \\ \end{gathered} \]

לכן זוהי רלצית שקילות. כעת נגדיר מי הן מחלקות השקילות, ונמצא את קבוצת המנה.

מחלקות השקילות מאופיינות על ידי השאריות בחלוקה ב10. לכן קבוצת המנה היא:

plot:\[{\raise0.7ex\hbox{$A$} \!\mathord{\left/  {\vphantom {A R}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$R$}} = \{ [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]\}  = \{ [x]|0 \leqslant x \leqslant 9,x \in N\} \]

2.

A קבוצה, B תת קבוצה של A.

plot:\[R = \left\{ {\left\langle {x,y} \right\rangle |x = y{\text{ or }}x,y \in B} \right\}\]

רפלקסיביות: כן: כי x=x.

סימטריות: כן: xRy. אם x=y אז ברור שyRx כי הם שווים.

                    אם plot:\[x \ne y\]  אזיי x,y שייכים לB ולכן גם y,x שייכים לB- ולכן yRx.

טרנזיטיביות: כן: xRy,yRz. אם כולם זהים ברור כי xRz. אם x,y,z לא זהים כולם, אזי

                   הם שייכים ל-B, ולכן xRz.

אפיון מחלקות השקילות:

מחלקת שקילות אחת היא B וכל איבר ב-A מהווה מחלקת שקילות.

plot:\[{\raise0.7ex\hbox{$A$} \!\mathord{\left/  {\vphantom {A R}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$R$}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {\left\{ {[x]|x \in A\backslash B} \right\}} & {B = \varphi }  \\    {\left\{ {[x]|x \in A\backslash B} \right\} \cup \{ B\} } & {B \ne \varphi }  \\ \end{array} } \right\}\]

נשים לב לכתיבה: plot:\[\left\{ {[x]|x \in A\backslash B} \right\} \cup \{ B\} \]. הכתיבה plot:\[\left\{ {[x]|x \in A\backslash B} \right\} \cup B\] היא טעות במקרה זה.



הסבר בעזרת דוגמא:

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { 1, 2 }

plot:\[\begin{gathered}   \left\{ {[x]|x \in A\backslash B} \right\} \cup \{ B\}  = \{ \{ 3\} ,\{ 4\} ,\{ 5\} ,\{ 1,2\} \}  \hfill \\   \left\{ {[x]|x \in A\backslash B} \right\} \cup \{ B\}  = \{ \{ 3\} ,\{ 4\} ,\{ 5\} ,1,2\}  \hfill \\ \end{gathered} \]

הביטוי השני הוא כבר לא חלוקה למחלקות שקילות!

3.

מה מספר רלציות השקילות בקבוצה סופית A?

הגדרת קבוצת מנה מגדירה רלציה ולהפך. השאלה היא למעשה כמה חלוקות אפשריות.

נניח כי |A|=n. מספר הרלציות הוא מספר האפשרויות לחלק את האלמנטים לתתי קבוצות כך שבכל קבוצה אלמנט אחד לפחות, ואין אלמנט המופיע ביותר מקבוצה אחת.

כלומר, הבעיה שקולה לחלוקה של n אלמנטים שונים לתאים זהים, כך שאין תא ריק ואין הגבלה על מספר התאים.



תגיות המסמך:

לפרק הקודם4.8.7. חלוקה
לפרק הבא5. עוצמות
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד