הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

4.8.2. למה 1

תהי plot:\[A\] קבוצה, שני איברים plot:\[x,y \in A\] ותהי plot:\[E\] רלצית שקילות מעל A, אזי:

א. plot:\[\left[ x \right] = \left[ y \right]\] אמ"מ plot:\[\left\langle {x,y} \right\rangle  \in E\].

ב. plot:\[[x] \ne [y]\] אמ"מ plot:\[[x] \cap [y] = \varphi \].

  • מחלקת שקילות היא לא קבוצה ריקה (היא מתאפיינת על ידי איבר מסויים)
  • ניתן לכתוב את ב' גם כך: plot:\[\left\langle {x,y} \right\rangle  \notin E\] אמ"מ plot:\[[x] \cap [y] = \varphi \].


הוכחה

א.

plot:\[ \Leftarrow \]

נתון: plot:\[\left[ x \right] = \left[ y \right]\].

צ"ל: plot:\[\left\langle {x,y} \right\rangle  \in E\].

הוכחה: לפי הגדרה: plot:\[y \in \left[ y \right]\]. נתון כי plot:\[\left[ x \right] = \left[ y \right]\] ומכאן plot:\[y \in \left[ x \right]\]plot:\[ \Leftarrow \]plot:\[\left\langle {x,y} \right\rangle  \in E\].

plot:\[ \Rightarrow \]

נתון: plot:\[\left\langle {x,y} \right\rangle  \in E\]

צ"ל: plot:\[\left[ x \right] = \left[ y \right]\]

הוכחה: ראשית נטען כי plot:\[\left\langle {y,x} \right\rangle  \in E\] (מכיוון ש-plot:\[E\] הינה סימטרית). וכעת:

ולכן plot:\[\left[ x \right] = \left[ y \right]\].

ב.

plot:\[ \Rightarrow \]

נתון: plot:\[[x] \cap [y] = \varphi \].

צ"ל: plot:\[[x] \ne [y]\].

הטענה נכונה באופן טריויאלי מכיוון שגם plot:\[\left[ x \right]\] וגם plot:\[\left[ y \right]\] אינן ריקות.

plot:\[ \Leftarrow \]

נתון: plot:\[[x] \ne [y]\].

צ"ל: plot:\[[x] \cap [y] = \varphi \].

נניח בשלילה כי plot:\[[x] \cap [y] \ne \phi \]. כלומר קיים plot:\[a \in \left[ x \right],\left[ y \right]\] ומכאן:

plot:\[\begin{array}{*{20}{c}}    {\begin{array}{*{20}{c}}    \begin{gathered}   \left\langle {x,a} \right\rangle  \in E \hfill \\   \left\langle {y,a} \right\rangle  \in E \hfill \\ \end{gathered}  &  \Rightarrow   \\ \end{array} }  \\ \end{array} \begin{array}{*{20}{c}}    \begin{gathered}   \left\langle {x,a} \right\rangle  \in E \hfill \\   \left\langle {a,y} \right\rangle  \in E \hfill \\ \end{gathered}  &  \Rightarrow   \\ \end{array} \left\langle {x,y} \right\rangle  \in E\mathop  \Rightarrow \limits_{{\text{Lemma 1}}} \left[ x \right] = \left[ y \right]\]

כלומר ההנחה שגויה ולכן plot:\[[x] \cap [y] = \varphi \].



תגיות המסמך:

לפרק הקודם4.8.1. מחלקת שקילות
לפרק הבא4.8.3. הצגת רלצית שקילות כגרף
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד