הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

4.3. הפונקציה ההופכית

יהיו plot:\[A,B\] קבוצות, ותהי plot:\[f:A \to B\] פונקציה. הרלציה ההופכית plot:\[{f^{ - 1}}\] היא לא בהכרח פונקציה.

במקרה ש-plot:\[{f^{ - 1}}\] היא פונקציה, היא תיקרא הפונקציה ההופכית. נשאל מתי plot:\[{f^{ - 1}}\] היא פונקציה.

טענה

תהי plot:\[f:A \to B\].

  1. הרלציה ההופכית plot:\[{f^{ - 1}}\]היא פונקציה אמ"מ plot:\[f\] הינה התאמה חח"ע.
  2. במקרה ש-plot:\[{f^{ - 1}}\] היא פונקציה, אזי גם היא התאמה חח"ע.

הוכחה:

  1. plot:\[{f^{ - 1}}\] היא פונקציה אמ"מ לכל plot:\[b \in B\] קיים plot:\[a \in A\] יחיד, כך ש-plot:\[\left\langle {b,a} \right\rangle  \in {f^{ - 1}}\].

    מהגדרת הפונקציה ההופכית, נובע כי לכל plot:\[b \in B\] קיים plot:\[a \in A\] יחיד כך שplot:\[\left\langle {a,b} \right\rangle  \in f\]  וזה מתקיים אמ"מ f התאמה חח"ע.
  2. plot:\[f = {({f^{ - 1}})^{ - 1}}\]. plot:\[f\] היא פונקציה ולכן עפ"י 1 מתקיים שplot:\[{f^{ - 1}}\] היא התאמה חח"ע.


טענה

עבור שתי קבוצות סופיות plot:\[A,B\], מתקיים plot:\[\left| A \right| = \left| B \right|\] אמ"מ קיימת התאמה חח"ע בין A ל-B.

הגדרה

רלציה R מעל קבוצה A היא קבוצה של plot:\[A \times A\]:

plot:\[\begin{gathered}   A = \{ 1,2,3,4\}  \hfill \\   {R_1} = \left\{ {\left\langle {1,1} \right\rangle ,\left\langle {1,3} \right\rangle ,\left\langle {2,4} \right\rangle } \right\} \hfill \\   {R_2} = \left\{ {\left\langle {1,1} \right\rangle ,\left\langle {2,2} \right\rangle ,\left\langle {3,3} \right\rangle } \right\} \hfill \\   {I_a} = \left\{ {\left\langle {x,x} \right\rangle |x \in A} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]

plot:\[{I_a}\] זוהי רלצית הזהות.

ניתן לייצג רלציות בעזרת גרף דו צדדי כמו שכבר ראינו, אולם ניתן לייצג רלציות גם באמצעות גרף.

את הגרף בונים בצורה הבאה: מציירים צומת יחיד עבור כל איבר ב-A. יש קשת בין הצומת x לצומת y אם הזוג הסדור plot:\[\left\langle {x,y} \right\rangle  \in R\].

דוגמא

plot:\[{\text{R = }}\left\{ {\left\langle {{\text{1,1}}} \right\rangle {\text{,}}\left\langle {{\text{1,2}}} \right\rangle {\text{,}}\left\langle {{\text{2,3}}} \right\rangle {\text{,}}\left\langle {{\text{3,4}}} \right\rangle {\text{,}}\left\langle {{\text{4,3}}} \right\rangle } \right\}\]



תגיות המסמך:

לפרק הקודם4.2. שאלות קומבינטוריות
לפרק הבא4.4. תכונות של רלציה מעל קבוצה A
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד