הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

2.20. מכפלה קרטזית

תהיינה A ו-B קבוצות. המכפלה הקרטזית plot:\[A \times B\] היא הקבוצה:

plot:\[A \times B = \left\{ {\left\langle {A,B} \right\rangle |a \in A,b \in B} \right\}\]

כלומר plot:\[A \times B\] היא קבוצת כל הזוגות הסדורים בהם האיבר הראשון שייך ל-A והשני ל-B.

פעולה זו איננה קומוטטיבית. אם A שונה מ-B אזי plot:\[A \times B\] שונה מ-plot:\[B \times A\].

מתכונות המכפלה הקרטזית:

  1. plot:\[A \times \phi  = \phi  \times A = \phi \].
  2. plot:\[A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\].
  3. plot:\[A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\].
  4. plot:\[\left( {\left( {A \times B} \right) \times C} \right) \ne \left( {A \times \left( {B \times C} \right)} \right)\]. (כי plot:\[\left( {\left( {a,b} \right),c} \right) \ne \left( {a,\left( {b,c} \right)} \right)\].

עבור קבוצה סופית מתקיים:plot:\[\left| {AxB} \right| = \left| A \right| \cdot \left| B \right|\]

סימון

המכפלה הקרטזית plot:\[A \times A\] תסומן plot:\[{A^2}\].

הרחבת ההגדרה עבור n קבוצות

יהיו הקבוצות plot:\[{A_1},{A_2},...,{A_n}\]. נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהם בצורה הבאה:

plot:\[{A_1} \times {A_2} \times ... \times {A_n} = \left\{ {\left\langle {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right\rangle |{a_1} \in {A_1},{a_2} \in {A_2},...,{a_n} \in {A_n}} \right\}\]



סימון

המכפלה הקרטזית plot:\[\underbrace {A \times ... \times A}_{n{\text{ times}}}\] תסומן ב-plot:\[{A^n}\].

טענה

בהינתן plot:\[A\] ו-plot:\[B\], קיימת הקבוצה plot:\[A \times B\].

plot:\[A \times B = \left\{ {\left\langle {a,b} \right\rangle |a \in A,b \in B} \right\} = \left\{ {\left\{ {\left\{ a \right\},\left\{ {a,b} \right\}} \right\}|a \in A,b \in B} \right\}\]

הוכחה:

plot:\[\begin{gathered}   \left\{ a \right\} \subseteq A,\left\{ a \right\} \in P\left( A \right),\left\{ a \right\} \subseteq P\left( {A \cup B} \right) \hfill \\   \left\{ {a,b} \right\} \subseteq A \cup B,\left\{ {a,b} \right\} \in P\left( {A \cup B} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

נסמן: plot:\[P\left( {A \cup B} \right) \equiv C,\left\{ a \right\} \equiv x,\left\{ {a,b} \right\} \equiv y\].

אנו מחפשים את plot:\[\left\{ {x,y} \right\}\]. plot:\[x \in C,y \in C\] ולכן plot:\[\left\{ {x,y} \right\} \in P\left( C \right)\].

כלומר: plot:\[\left\{ {\left\{ a \right\},\left\{ {a,b} \right\}} \right\} \in P\left( {P\left( {A \cup B} \right)} \right)\].

מצאנו היכן נמצאים כל האיברים, וכעת נגדיר אותם:

  • בהינתן plot:\[A,B\] נבנה בעזרת כלל האיחוד אתplot:\[A \cup B\].
  • ע ידי הפעלת כלל החזקה נקבל את הקבוצה plot:\[P\left( {P\left( {A \cup B} \right)} \right)\].
  • בעזרת כלל הגזירה נגזור מתוך plot:\[P\left( {P\left( {A \cup B} \right)} \right)\] את כל הקבוצות שהן זוגות סדורים שבהם האיבר הראשון הוא מ-plot:\[A\] והאיבר השני הוא מ-plot:\[B\].



טענה

יהיו שתי קבוצות לא ריקות plot:\[A,B\], אזי מתקיים כי: plot:\[ \cup  \cup \left( {A \times B} \right) = A \cup B\].



תגיות המסמך:

לפרק הקודם2.19. זוג סדור
לפרק הבא3. רלציות
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד