הועלה לאתר:  
מספר עמודים: 95
הורדת המסמך בגרסה להדפסהלהורדת המסמך בשלמותו

תורת הקבוצות

ספר אלקטרוני מאת: ניר אדר

2.16. קבוצת החזקה

תהא A קבוצה. קבוצת החזקה של A המסומנת על ידי P(A) או על ידי plot:\[{2^A}\] היא הקבוצה:

plot:\[P(A) = \{ B|B \subseteq A\} \]

כלומר P(A) מכילה (כאיברים) את כל תתי הקבוצות של A.

דוגמא

plot:\[\begin{gathered}   A = \left\{ {1,2} \right\} \hfill \\   P\left( A \right) = \left\{ {\phi ,\left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ {1,2} \right\}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]

גודלה של P(A) עבור קבוצה סופית A הינו plot:\[{2^{\left| A \right|}}\].

טענה

לכל 2 קבוצות A ו-B מתקיים: plot:\[P(A \cap B) = P(A) \cap P(B)\]

הוכחה:

נראה הכלה דו כיוונית:

א. plot:\[P(A \cap B) \subseteq P(A) \cap P(B)\]

ב. plot:\[P(A \cap B) \supseteq P(A) \cap P(B)\]

א.

plot:\[C \in P(A \cap B) \Rightarrow C \subseteq A \cap B \Rightarrow C \subseteq A{\text{ and }}C \subseteq B \Rightarrow \]הגדרת חזקהplot:\[ \Rightarrow C \in P(A){\text{ and }}C \in P(B) \Rightarrow \]הגדרת חיתוךplot:\[ \Rightarrow C \in P(A) \cap P(B)\]

ב. מתקבל מא' על ידי היפוך כיוון.



תכונות של קבוצת החזקה

יהיו plot:\[A,B\] קבוצות ותהי plot:\[X\] קבוצה לא ריקה של קבוצות, אזי:

1. plot:\[A \subseteq B\] גורר כי plot:\[P(A) \subseteq P(B)\].

2. plot:\[P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B)\]

3. plot:\[P\left( {A \cap B} \right) \subseteq P(A) \cap P(B)\]

4. plot:\[ \cup \left\{ {P(A) \in P(P(A)):A \in X} \right\} \subseteq P\left( { \cup X} \right)\]

5. plot:\[P\left( { \cap X} \right) \subseteq  \cap \left\{ {P(A) \in P(P(A)):A \in X} \right\}\]

תגיות:

תגיות המסמך:

לפרק הקודם2.15. חוקי דה מורגן לגבי איחוד וחיתוך על קבוצות
לפרק הבא2.17. בניה פורמלית לקבוצות
מאת: סטודנטית

הוכחות להגדרה 2

אשמח להגדרות פורמליות מפורטות עבור המשפט. תודה רבה
מאת: ילדה

תודה רבה!

תודה על ההסבר המצוין
מאת: אני

תודה

מברוק! תודה
מאת: ברק

יש לכם טעות

בסגור הטרנזיטיבי שהתקבל אצלכם, קיימים הזוגות <4,1> ו-<1,4>, אבל מתוקף היותו טרנזיטיבי הוא חייב גם להכיל את <1,1> ו-<4,4>. ההגדרה של טרנזיטיביות לא מחייבית a,b,c שונים.

כנ"ל לגבי <2,3> ו-<4,2> - חייב להימצא הזוג הסדור <4,3>.
מצאתי עוד 3 דוגמאות כאלה..
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: יואב

מבלבל

היית צריך לתת דוגמאות גם ליחסים לא סימטריים.... התבלבלתי ממש בין X לY בגלל זה...
מאת: אמיר

קבוצה סופית

מישו יכול להעלות את ההוכחה לכך שכל תת קבוצה של קבוצה סופית היא סופית ? זה ברור אבל אני צריך את ההגדרה הפורמלית לזה ..
מאת: רעות

תודה רבה

תודה רבה ספר מעולה מסביר מצויין שתצליח תמיד :-)
מאת: עומר

סגור טרנזיטיבי

ניר אתה בטוח ש- (4,2) הוא חלק מהסגור הטרנזיטיבי (משפט 3 מלמעלה)?
אני לא סגור על החומר, אבל אני לא חושב שזה נכון...
מאת: אחד שלומד

יפה מאוד אך ישנן כמה טעויות

ישנן כמה טעויות (קריטיות להוכחה) כשעברתי על החומר,
למשל בהוכחה ש R* טרנזיטיבית (סעיף 2) יש בלבול שלם בין x,y,z אז צריך לתקן את זה.
מאת: אני

כל הכבוד!!!!

כל הכבוד על העבודה שעשית כאן!!!
נורא עוזר!!!!
מאת: אני

תודה רבה רבה רבה רבה!

כל הכבוד על העלאת הסיכום המעולה הזה לטובת כולם!
מאת: אלעד

המון תודה

וואו, חומר כל כך ברור ומסודר!
עברתי על עשרות ספרים ואף אחד לא ברור וענייני כמו זה - פשוט כל הכבוד!
תודה, תודה תודה!
מאת: אולג

תודה רבה!!!!!!!!

אף פעם לא ברור לי מה האינטרס של אנשים כמוך, להעלות חומר ממש מועיל לאינטרנט בחינם...

בכל אופן, רציתי לומר: כל הכבוד ותודה רבה, הסיכומים שלך מאוד עזרו לי ואני מאוד מעריך את הזמן והמאמץ שהושקע בהם.

והלוואי ויהיו רבים כמוך...
שיתוף:
| עוד