פיסיקה 2ממ

הרצאה 5 – צפיפות האנרגיה והשטף

צפיפות האנרגיה האלקטרוסטטית במרחב

צפיפות האנרגיה האלקטרוסטטית במרחב בכל מקום בו קיים  (שדה חשמלי):

נפתח את הנוסחה על ידי שימוש במקרה פרטי (המעיד על הכלל).

נביט כעת בקליפה כדורית דקה בעלת רדיוס r, אשר עליה (על הקליפה) צפיפות מטען אחידה.

פועל כוח החוצה (כי כל המטענים הם באותו סימן), ומטעמי סימטריה הכוח רדיאלי.

בתוך הקליפה ישנו שדה 0, ומחוץ לקליפה ישנו שדה.

כוח ליחידת שטח: .

ידוע כי הקפיצה בשדה החשמלי במעבר בקליפה הוא: , ומכאן:

שינוי אנרגיה פוטנציאלית:

אנרגיה ליחידת נפח:

דוגמא א'

קליפה כדורית טעונה במטען Q.

קיבלנו את אותה תוצאה שקיבלנו בהרצאה הקודמת.

דוגמא ב'

נבצע אינטגרל על כל המרחב:

יסודות האלקטרוסטטיקה

1. קיימים שני סוגי מטענים – חיובי ושלילי.

2. חוק קולון –

מסקנות מהיסודות

1. חוק גאוס:

2. חוק שימור האנרגיה:

המטרה שלנו כעת: קבלת שני החוקים היסודיים בצורה דיפרנציאלית.

הגדרה

האופרטור נבלה יוגדר כך:

הגדרה

הגרדיאנט של פונקציה סקלרית  הינו:

משפט

יהי נפח V, שסוגר עליו משטח S, המחולק לשני חלקים, הכלואים על ידי . יהא אשר יהא מספר חלוקות המשנה, סכום האינטגרלים המשטחיים על כל החלקים שווה לאינטגרל המשטחי המקורי על S, עבור כל פונקציה ווקטורית .

צפיפות השטף של שדה ווקטורי

יהי  שדה ווקטורי כלשהו. נבחר משטח סגור כלשהו S, שנפחו V, ונחשב את השטף של השדה:

נניח שאנו מחקים את הנפח V לשני חלקים באמצעות משטח, לשני חלקים .

לפי המשפט, סכום האינגרלים המשטחיים על שני חלקים אלו זהה לאינטגרל המקורי על כל S, אותו ביצענו לעיל. נמשיך לחלק שוב ושוב את הנפח שהתקבלו, עד שנחלק את V למספר גדול של נפחים - N.

אנו מנסים לזהות איזו תכונה אופיינית לאיזור קטן מסויים, כך שבגבול, כש-N שואף לאינסוף, היא תאפיין נקודה נתונה.

לפיכך, נביט בביטוי הבא: .

נגדיר את הדיברגנץ בצורה הבאה:

כאשר  הוא הנפח המכיל את הנקודה שבה מדובר, ו- הוא המשטח הכולא את .

זוהי למעשה פונצקית צפיפות השטף – שטף ליחידת נפח.

משפט גאוס

יהי שדה ווקטורי , ומשטח סגור S הכול נפח , אזי: