פיסיקה 2ממ

הרצאה 21 – השראות הדדיות, השראות עצמית, המעגל המכיל סליל ונגד, אלגוריתם רוטמן

השראות הדדיות

נתונים שני מעגלי זרם מוליכים  קבועים בממדים ובמרחק ביניהם.  הוא משטח פתוח ש- הוא שפתו. במעגל  זורם זרם . הזרם יוצר שדה מגנטי באיזור המעגל : .

השטף דרך משטח המוגדר על ידי מעגל  ונובע מ-: .

נראה כעת כי השטף  משתנה ביחס ישר לשינוי ב-.

במעגל  יווצר כוח אלקטרומניע מושרה:

נרצה להגיע כעת למשוואה חדשה, בה יופיע קבוע שיסומן :

הקבוע  נקרא השראות הדדית. גודל זה הוא גודל גיאומטרי, הנקבע על ידי הסידור הגיאומטרי של המעגלים.

סימן המינוס הנמצא בהגדרה אינו אומר לנו הרבה על מגמת הכוח האלקטרומניע. אם ברצוננו לדעת באיזו מגמה ישאף הכוח האלקטרומניע להסיע מטענים ב-, נשתמש בחוק לנץ.

טענת עזר

יהי S משטח ותהי C שפת המשטח. דרך משטח זה עובר שדה מגנטי .

נחפש את השטף דרך S, שהמעגל שלנו הוא שפתו.

כאשר המעבר האחרון נכון לפי משפט סטוקס.

מסקנה:

נשתמש כעת בטענת העזר להמשך הפיתוח:

נשים לב כי הביטוי שבאינטגרל הוא גודל גיאומטרי.

כעת נביט במצב "הפוך". במעגל  זורם זרם  המשרה כא"מ

ניתן לראות כי  ולכן נסמן: .

מסקנה

נוכל לדבר מעתה על ההשראות ההדדית M של זוג מעגלים נתון, ללא שנצטרך להבחין בין .

השראות עצמית

כאשר הזרם  משתנה, יש שינוי בשטף דרך המעגל  עצמו. כתוצאה מכך מושרה ב- כוח אלקטרומניע, אותו נסמן . חוק ההשראה תקף, ללא קשר למקור השטף: .

הוא השטף דרך המעגל דרך  של השדה , הנוצר על ידי הזרם  שבמעגל  עצמו.

פרופורציוני ל-, ולכן נרשום: . הקבוע  נקרא ההשראות העצמית של המעגל.

נביט כעת במקרה הכללי של שני מעגלים בהם זורמים זרמים . נקבל:

יחידות

הערה

אם מסתכלים על השראה הדדית בין סליל בעל  כריכות לסליל בעל  כריכות התוצאה מוכפלת ב-, כי יש לנו  כריכות זרם שמשפיעות לא על טבעת בודדת, אלא על  טבעות.

דוגמא א'

נחשב M של מערך של שני סלילים מוליכים ארוכים מאוד, ישרים, מקבילים, האחד בתוך השני.

עבור הסליל החיצוני  כאשר  היא צפיפות הכריכות בתיל 1.

מה השטף דרך סליל 2?

על מנת לחשב את השטף ננסה למצוא מהו השטף דרך לולאה אחת שבו. הסליל הפנימי בעל  כריכות שכל אחת מהן ברדיוס . שטח כל כריכה: . שדרך דרך כריכה אחת הוא .

הערה

כאשר מחשבים את ההשראות ההדדית על שני מעגלים צריך למצוא את המעגל הפשוט יותר. לפעמים מאוד קשה לחשב את ההשראות על אחד מהמעגלים, ולעומת זאת החישוב על המעגל השני הוא פשוט. כמו כן, ראינו שההשראות זהה עבור שני המעגלים, ולכן נוכל להסתפק בחישוב ההשראות עבור אחד מהם, ונדע כי זוהי גם ההשראות של המעגל השני.

דוגמא ב'

נחשב את ההשראות העצמית של טורוס. נניח לצורך הפשטות כי הטורוס הוא בעל חתך מלבני. זורם זרם בטורוס, שהוא משיק למעגל הפנימי. בתחום , מתקיים כי .

השטף של B דרך כריכה אחת יחשוב כך:

השטף דרך כל הכריכות:

ומכאן:

המעגל המכיל סליל ונגד

אם הזרם I במעגל משתנה בקצב , מושרה במעגל כוח אלקטרומניע . הכא"מ המושרה "שואף" לבטל את השינוי בזרם, ובהתאם לכך כיוונו.

נכתוב את משוואת המעגל ל- (אחרי סגירת המפסק):

זוהי משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית ממעלה ראשונה.

דרך נוספת להסתכל על המשוואה היא כזו:  זהו המתח על הסליל, ו-RI זהו המתח על הנגד.

אנו אומרים: המתח על הכא"מ נופל על המעגל - חלקו על הנגד וחלקו על הסליל.

פתרון פרטי של המשוואה: .

כעת, לאחר שמצאנו פתרון פרטי, נפתור את המשוואה ההומוגנית המתאימה:

כעת נשתמש במשפט האומר שהפתרון של המשוואה הלא הומוגנית הוא הסכום של הפיתרון של ההומוגנית עם פתרון פרטי של המשוואה הלא הומוגנית, ונקבל:

לפי תנאי ההתחלה נקבל כי , ומכאן:

מקרה 2

ב- זורם זרם במעגל. ב- אנו פותחים את המפסק, והזרם מופסק. משוואת המעגל:

פתרון המשוואה:

במעגל מתפתח על הנגד חום Joule כאשר הזרם דועך.

הראנו כי האנרגיה העצורה בסליל שבו זורם זרם I היא .

האנרגיה האצורה בשדה מגנטי

האנרגיה U, הקשורה באיזה שדה מגנטי , נתונה על ידי הנוסחה הבאה:

שאלות

שאלה 1

תשובה 1

שטף השדה המגנטי: . כיוון ווקטור השטח הוא רק על מישור  ולא על מישור , ולכן:

נחשב את שטף השדה המגנטי:

לסיום, נשתמש בחוק פארדיי על מנת למצוא את הכא"מ המתפתח בטבעת:

א. מהו הכוח האלקטרומניע המושרה במסגרת?

ב. כעת נניח כי ההתנגדות של המסגרת היא R. חשב את גודל וכיוון הכוח שצריך להפעיל על המסגרת

    על מנת שתמשיך לנוע במהירות קבועה  גם בתוך האיזור שבו קיים שדה מגנטי.

תשובה 2

סעיף א'

נשתמש בפיתוח שקיבלנו עבור מסגרת בשדה מגנטי בהרצאה 20.

סעיף ב'

על מנת למצוא את הכוח שצריך להפעיל על המספגרת על מנת שתמשיך לנוע בתנועה קבועה, אנו צריכים לדרוש שסכום הכוחות הכללי יהיה אפס. נמצא את הכוח שהשדה המגנטי מפעיל על המסגרת המלבנית. הכוח שאנו מחפשים הינו כוח שגודלו זהה לכוח זה וכיוונו הפוך.

כיצד נוצר הכוח?

כאשר המסגרת נכנסת אל השדה המגנטי, יש שינוי בשטף המגנטי דרכה, ולכן לפי פארדיי יהיה כא"מ מושרה על המסגרת מהשדה המגנטי. הכא"מ המושרה שואף "להתנגד" לשדה המגנטי.

איך התנגדות זו מתרחשת? הכא"מ יוצר תנועת מטענים - זרם. הזרם החשמלי יוצר שדה מגנטי, שכיוונו יהיה הפוך לשדה המגנטי המשר, וכך יקטן השטף.

כעת, כאשר יש זרם (תנועת מטענים) במסגרת, השדה המגנטי מפעיל כוח על אותם מטענים. זהו הכוח הפועל על המסגרת.

ננתח את המצב כאשר המסגרת מתחילה להכנס אל השדה המגנטי, ורק צלע 2 בתוך התיל.

השטף המגנטי דרך המסגרת גדל, ולכן הכא"מ המושרה ישאף להקטין את השטף.

השדה המגנטי יוצא מהדף השדה המגנטי שהכא"מ ייצור בתוך המסגרת יהיה מכוון אל תוך הדף.

לכן, הזרם החשמלי יהיה עם כיוון השעון. הכוח הפועל על כל אחת מהדפנות:

בצלע התחתונה המטענים נעים שמאלה, השדה מכוון למעלה, ולכן לפי כלל יד ימין, הכוח פועל כלפי מעלה. בצלע העליונה - המטענים נעים ימינה, השדה מכוון למעלה, ולכן הכוח מכוון כלפי מטה.

מכיוון שזורם בצלעות אותו זרם, הכוחות שווים בגודלם, ולכן הם מבטלים זה את זה.

בצלע הימנית לעומת זאת, זורם זרם כלפי מטה  פועל כוח בכיוון , אולם אין כוח שיבטל אותו, ולכן זהו הכוח הכולל הפועל על המסגרת.

נביט בקטע התיל. אורך הקטע הוא . שטח החתך של התיל הוא , וצפיפות המטענים היא . מספר המטענים באלמנט התיל: .

ולכן בזמן  הכוח שנצטרך להפעיל הינו .

כאשר המסגרת כולה בתוך השדה המגנטי אין שינוי בשטף. במקרה מוכלל של הבעיה הנתונ, שהיה גם קטע בינייים בו כל המסגרת הייתה נמצאת בתוך השדה המגנטי, לא היה בה זרם, מכיוון שלא היה בה שינוי בשטף.

כאשר המסגרת מתחילה לצאת מהשדה המגנטי, אנו צריכים לנתח מחדש את הבעיה.

כעת השטף קטן, ולכן הכא"מ המושרה ישאף להגדיל את השדה המגנטי (חוק לנץ).

כעת הזרם החשמלי יהיה נגד כיוון השעון. מניתוח הבעיה בצורה דומה לחלק הראשון, נקבל שגם כעת הכוח שנצטרך להפעיל הינו .

הערה

שינוי בשטף  כא"מ מושרה.

אלגוריתם רוטמן (1)

1. חשב את השטף.

2. גזור אותו.

3. מצא  מושרה - חוק פארדיי.

4. מצא את כיוונו אינטואיטיבית ואמת לפי חוק לנץ.

משפט רוטמן

השדה שנוצר על ידי הכא"מ המושרה ישאף לגרום להקטנת שינוי השטף הקיים.

שינוי בזרם  שינוי בשדה המגנטי  שינוי בשטף המגנטי  גורר כא"מ מושרה (פארדיי).