פיסיקה 2ממ

הרצאה 17 – משוואת פואסון לפונקציה ווקטורית, חוקי ביו-סבר, סולונואיד

משוואת פואסון לפונקציה ווקטורית

בהרצאה הקודמת קיבלנו את משוואות פואסון: .

כל אחד מרכיבי  מקיים את משוואת פואסון, ולכן ניתן לרשום:

ובאופן דומה לרשום משוואות גם עבור .

באלקטרוסטטיקה קיבלנו מ- ומ- את משוואת פואסון .

באופן אנלוגי קיבלנו עבור שדה מגנטי את משוואת פואסון לפונקציה ווקטורית.

ראינו כי הפתרון הפורמלי עבור הפוטנציאל כאשר  סופית הוא .

באופן אנלוגי לצפיפות הזרם  נציג את הפתרון הפורמלי עבור :

למה איננו צריכים לדרוש כי  תהיה סופית? מכיוון שהיא חייבת להיות סופית, הרי המעגל נסגר.

מקרה פרטי - לולאת זרם

ומכאן:

האינטגרל הוא גודל גיאומטרי - תלוי בצורת המעגל.

תזכורת

מתקיים:  מכיוון ש:

וכמו כן:

ובצורה זו אנו מקבלים כי: .

נבצע כעת חישוב דומה עבור השדה המגנטי:

חוק ביו-סבר

במקרה הפרטי של לולאת זרם, נקבל את חוק ביו-סבר:

דוגמא

שימוש בחוק ביו-סבר לחישוב  של טבעת זרם, על ציר הסימטריה הניצב למישורה.

זוהי התרומה של האלמנט  לרכיב בכיוון z של השדה. על מנת לקבל את השדה כולו, נבצע אינטגרל:

במרכז הטבעת יתקיים: . שטח הלולאה הינו ,

ולכן על ציר הסימטריה z נקבל כי:

הערה חשובה

ראינו כאן ניסוח יותר פשוט ושימושי לחוק ביו-סבר, והוא: חוק ביו-סבר:

כאשר:  - כיוון אלמנט הנפח (כיוון אלמנט תיל),  ווקטור יחידה בכיוון .

כמו כן -  מאונך למישור שיוצרים  ו-.

הוכחת ביו-סבר: מציאת תרומת  וביצוע רוטור עליו, על מנת לקבל את .

חוק ביו-סבר בצורה אנליטית:

הגדרה

מומנט דיפול מגנטי של טבעת זרם המונחת במישור xy:

עבור טבעת זרם נקבל:

עבור לולאת בעלת מומנט מגנטי  הנמצאת תחת השפעת שדה מגנטי ,

נגדיר את מומנט הכוח הפועל על דיפול מגנטי בשדה חיצוני בצורה הבאה: .

שדה מגנטי הנוצר על ידי סליל ישר נושא זרם I - סולונואיד

נבצע אינטגרציה בין הגבולות  ו על מנת לקבל את השדה המגנטי:

עבור סליל אינסופי יתקיים כי  וכן , ונקבל את השדה של סליל בעל אורך אינסופי:

השדה אחיד בכל נקודה ונקודה בכל איזור בסליל, ללא תלות במקום החתך. ניתן להקביל בין הסליל לבין קבל לוחות היוצר שדה חשמלי אחיד.

מחוץ לסליל האינסופי, מתקיים כי , וזאת עקב חוק אמפר - .

שימוש בחוק אמפר לחישוב השדה המגנטי של סליל בצורת טורוס

ומכאן:

כאשר N הוא מספר הכריכות הכולל.