פיסיקה 2ממ

הרצאה 12 – שדות וכוחות הקשורים במטענים נעים, יחסות פרטית

שדות וכוחות הקשורים במטענים נעים

עד כה ראינו:

א.      תופעות הנובעות ממטענים נחים - אלקטרוסטטיקה:

הגדרנו את השדה החשמלי: .

ב.       זרמים - מטען נע.

הגדרנו את צפיפות הזרם: .

כעת נתעניין בשדות וכוחות הקשורים במטענים נעים.

התגלה כי ממטענים נעים, בנוסף לשדה החשמלי המתקבל ממטענים, מתקבל גם שדה מגנטי.

בהמשך הקורס נראה את חוק לורנץ, האומר כי הכוח הפועל על מטען q הינו:

עקרון חשוב נוסף שנראה, הוא שמטען חשמלי הוא אינווריאנטי ביחס לטרנספורמצית לורנץ (בלתי תלוי במערכת הייחוס).

חזרה על יסודות תורת היחסות (הפרטית)

תורת היחסות הפרטית עוסקת במערכות לא מואצות.

התורה מבוססת על שני עקרונות יסודיים:

א.      עיקרון היחסות: (בכל המערכות ל- אותה צורה - כלומר הכוח הוא מהצורה  בכל מערכת - אם כי ייתכן כי  יהיו שונים במערכות שונות).

ב.       קביעות מהירות האור: . מהירות זו זהה בכל מערכת ייחוס.

בעזרת תורת היחסות ניתן "לראות" תנועת אור.

דוגמא: פולס אור שנפלט ברגע  ממקור בראשית מתקדם לפי: .

האור מתפשט ככדור אור שהרדיוס שלו הוא ct.

הגדרה

מאורע הוא ווקטור מקום-זמן.

מערכת  נעה ביחס למערכת  במהירות קבועה .

צופים במערכת S רואים את מערכת  נעה במהירות . צופים במערכת  רואים את מערכת  נעה במהירות .

סימונים

טרנספורמצית לורנץ למאורעות

המאורע המאופיין ב- על ידי הווקטור  מאופיין על ידי הווקטור  ב-.

שני ווקטורי מקום-זמן אלו קשורים על ידי על ידי טרנספורמצית לורנץ למאורעות:

טרנספורמצית לורנץ ההפוכה

האינווריאנטה של ווקטור מקום זמן

גל אור מתפשט בכל מערכות הייחוס באותה צורה, ומתקיים:

תוצאות

א. התקצרות האורך בכיוון התנועה:

הגדרת האורך היא מדידת שני קצוות של גוף בעת ובעונה אחת על ידי אותו צופה.

נניח שנתון גוף הנע במהירות .

נסמן:  - אורך המנוחה של גוף במערכת ביחס לציר x במערכת S. אם ימדדו את רכיב זה במערכת , אזי ערכו יהיה: .

נסמן:  - אורך המנוחה של גוף במערכת ביחס לציר y במערכת S. אם ימדדו את רכיב זה במערכת , אזי ערכו יהיה: . אורכו של הגוף בכיוון ניצב לכיוון המהירות לא השתנה.

נשים לב שמכל מערכת ייחוס, הגוף הנע ייראה כמתכווץ.

לכאורה קשה מטרנספורמצית לורנץ של מאורעות לראות את תוצאה זו. מהטרנספורמציה נראה תחילה כי גוף יכול להתארך (למשל במעבר בין  ל- - טרנספורמציה הפוכה). הטעות בגישה זו, היא שטרנספורמצית לורנץ מוגדרת על נקודות במרחב. כדי למדוד את האורך עלינו למדוד שתי נקודות במערכת ולחשב את ההפרש ביניהם. כשאנו פועלים בצורה זו - תמיד תהיה התקצרות של האורך.

ב. התארכות הזמן (פיגור שעונים):

שעון נח במערכת S ימדוד .

שעון הנע ביחד עם מערכת  ימדוד .

(הצופה במערכת  מודד את השעון שנמצא במערכת S).

ג. שני מאורעות סימולטניים ב- אינם סימולטניים ב-.

דוגמא: נתונים שני מאורעות  במערכת S, כך שמתקיים  (כלומר המאורעות מתרחשים באותו הזמן).

לפי טרנספורמצית לורנץ, ב- המאורעות האלו יהיו  כאשר .

צופה ב- לא יראה את שני המאורעות מתרחשים בו זמנית.

טרנספורמצית לורנץ לשינויים אינפיטיסימלים

תנועה של חלקיק בעל מסה m

כאשר אנו מדברים על מסה של חלקיק של חלקיק, אנו מתכוונים אל המסה של החלקיק במערכת בה נמצא החלקיק במנוחה.

נמצא את הקשר בין המהירויות בשתי המערכות.

טרנספורמצית המהירויות:

קיבלנו שהטרנספורמציה של המהירות היא טרנספורמציה לא ליניארית (כי  תלויה ב-).

מכאן לא נוכל להשתמש בטרנספורמציה לפתרון בעיות. לכן, אנו משתמשים בתנע ואנרגיה על מנת לעבור לקשר ליניארי בין המערכות.

טרנספורמציות המהירויות ההפוכה

תנע ואנרגיה יחסותיים

במערכת S:

חלקיק נע במהירות . חלק ממאפייני החלקיק בתורת היחסות הם , המושפעים מגודל מהירות החלקיק בלבד (ולא מכיוונו). כאשר נתון לנו חלקיק ביחסות, נשאל מהם ה- שלו, ובעזרתם נוכל לנתח דברים הקשורים אל החלקיק.

הגדרות

נגדיר את התנע היחסותי: . התנע משתנה מרגע לרגע כי  משתנה.

נגדיר את האנרגיה היחסותית: .

הגדלים תלויים במהירות הרגעית במערכת S.

ווקטור תנע-אנרגיה

ווקטור תנע-אנרגיה במערכת S יוגדר כך: .

במערכת  מתקיים:

עבור , נגדיר את התנע היחסותי:  ואת האנרגיה היחסותית: .

נקבל את ווקטור התנע-אנרגיה במערכת : .

טרנספורמצית לורנץ לווקטור תנע-אנרגיה

נמצא את הקשר בין ווקטור התנע-אנרגיה במערכת S לאותו ווקטור במערכת .

 הם מספרים קבועים שמוגדרים על ידי המהירות היחסית בין שתי המערכות, ואין להם קשר ל- המוגדרים לפי המהירות הרגעית של החלקיק.

האינווריאנטה של תנע-אנרגיה

חוקי השימור המתקבלים

כלומר: האנרגיה הכללית נשמרת, וכן האנרגיה היחסותית נשמרת.

נשים לב כי בתורת היחסות, תרומת האנרגיה של חלקיק נח היא , וזאת לעומת מכניקה ניוטונית שתרומת האנרגיה של חלקיק נח הינה אפס.

נגדיר כוח על ידי הקבלה למכניקה ניוטונית

(*)

ניקח את (*) ונגדיר כוח במערכת יחסותית:

נמצא כעת טרנספורמציה של  ביחס למערכת המנוחה של החלקיק.

החלקיק נע בהשפעה של כוח, ולכן מערכת המנוחה שלו איננה מערכת אינרציאלית.

אנו נניח כי המערכת אינרציאלית (כמעט) על די כך שנניח כי ביחס למערכת שלנו תנועת החלקיק היא מאוד איטית. קירוב זה טוב רק לפרק זמן קצר.

נגדיר את  ("כמעט מערכת המנוחה של החלקיק") - כמערכת שבה  בפרק הזמן  (מספיק ארוך).

ב- תנועת החלקיק היא ניוטונית. נוכל בעזרת הנחה זו לתאר את תנועת החלקיק באמצעות המשוואות של המכניקה הניוטונית.

לפי מכניקה ניוטונית:

במערכת :

השינוי באנרגיה יהיה:

נעבור למערכת S:

נשים לב כי כל הגדלים שהם בעצמם נגזרות הם גדלים שחישבנו בעזרת מכניקה ניוטונית.

נציב ונקבל:

כאשר  הוא קבוע בפרק הזמן הקצר, ואילו  הוא גודל אינפיסיטימלי השואף לאפס.

מכאן נקבל:

מסקנה: רכיב הכוח בכיוון התנועה היחסותית העובד על חלקיק שכמעט נמצא במנוחה עובר ללא שינוי למערכת היחסותית הנעה במצהירות יחסית בין 0 ל-c ביחס למערכת שלנו.

רכיב הכוח בכיוון ניצב לתנועה היחסית:

ומכאן:

קיבלנו שרכיב הכוח הניצב הפועל על חלקיק כאשר הוא כמעט במנוחה קטן פי  במעבר למערכת היחסותית.

זהו מקרה פרטי של טרנספורמצית הכוח הכללית.