פיסיקה 2ממ

תרגול 4

שאלה 1 (שיטת הדמויות)

נתונה מעטפת כדורית מוליכה ומוארקת ברדיוס R, שמרכזה בראשית הצירים. מטען נקודתי Q נמצא בנק' (a,0,0).

חשב את הפוטנציאל בכל המרחב .

תשובה

נחלק את המרחב לשני חלקים: בתוך הכדור ומחוץ לכדור.

א. בתוך הקליפה:

המוליך חלול ואין מטענים בתוכו, ולכן . מכאן גם . על השפה מתקיים  עקב ההארקה. מתקימת משוואת לפלס, כלומר . הפיתרון של משוואת לפלס הינו פונקציה הרמונית. כידוע, לפונקציה הרמונית אין מקסימום או מינימום. לפיכך, ולפי משפט היחידות, הפוטנציאל בתוך הכדור הינו בהכרח 0.

ב. מחוץ לקליפה:

ננסה למצוא מטען נוסף q שייאפס את הפוטנציאל על הקליפה. (אנו מתעלמים כעת מהעובדה שהקליפה מוארקת. למעשה אנו כעת פותרים בעיה חדשה, ואנו פשוט מעוניינים במיקום בו הייתה הקליפה בבעיה המקורית יהיה אותו הפוטנציאל).

נבחר למקם את q בתוך הקליפה כי אנו מתעניינים בשלב זה בפוטנציאל מחוץ לקליפה, ולא נרצה שהפוטנציאל יושפע מהמטען.

מטעמי סימטריה, על q להיות על ציר x. נסמן את המרחק של q מראשית ציר x ב-b.

הפוטנציאל בכל נקודה במרחב:

על הקליפה מתקיימת המשוואה: .

הפוטנציאל על הקליפה:

נרצה: 0. נחפש b, q שייקיימו זאת:

פתרון 1:

.

מטען הדמות נמצא באותו מקום כמו המטען האמיתי.

זהו פתרון לא פיסיקלי, מכיוון שמטען הדמות מייצג את המטענים המפוזרים על הכדור.

פתרון 2:

כעת כל שנותר הוא להציב את הפיתוחים במשוואת הפוטנציאל (*) ולקבל את התשובה.

הערה חשובה: מוליך מוארק הוא מסכך. נניח כי המטען Q היה ממוקם בתוך הקליפה הכדורית, אזי הבעייה הייתה פשוטה. הפוטנציאל מחוץ למוליך המוארק היה אפס, וכן גם השדה.

שאלה 2 (קבל גלילי)

נתון גליל אינסופי מוליך ברדיוס a , הטעון בצפיפות מטען אחידה ליחידת אורך l. מקיפים את הגליל בקליפה גלילית מוליכה ומוארקת בעלת רדיוס b.

1. חשב את השדה בתחום  a<r<b
2. חשב את הפרש הפוטנציאל בין הקליפה לגליל.
3. חשב את הקיבול ליחידת אורך של מערכת זו.

תשובה

1. השדה בתחום זה קיים לפי חוק גאוס: , ומכאן .
   
   שדה זה זהה לשדה של תייל אינסופי!
   
   ( זהו שטח מעטפת הגליל. כאשר אנו מתרחקים מרחק קטן מהגליל הפנימי, אנו יכולים להתייחס אליו כאל תייל אינסופי, ולכן כשאנו באים לחשב את המטען עליו, אנו מחשבים את המטען ליחידת אורך).
2. הפרש הפוטנציאל בין הקליפה לגליל הפנימי:
3. המטען על חלק באורך L מהקבל הינו:

שאלה 3 (זרם)

כדור מוליך שרדיוסו a טעון ב t=0 במטען 0Q. הכדור נמצא בתוך חומר בעל מוליכות סגולית s.

1. חשב את המטען כפונ' של הזמן והזרם החשמלי כפונ' של הזמן.
2. המערכת שקולה למעגל RC מצא את הקיבול וההתנגדות המתאימים.
3. מצא את האנרגיה שהפכה לחום ע"י אינטגרציה על ההספק.

תשובה

1. השדה החשמלי ברדיוס  הינו:  כאשר  הוא המטען הכלול על הכדור המוליך כתלות בזמן.
   
   הזרם החשמלי היוצא מהכדור: . נשתמש בחוק אום, האומר כי . כמו כן, מתקיים כי . .
   
   קיבלנו: , ומכאן שהמטען הינו: . אנו יכולים לבטל את הקבוע בעזרת תנאי ההתחלה האומר כי .
   
   
   
   נסכם את התוצאה:

2. הכדור הטעון הוא קבל הנפרק דרך החומר המוליך שמסביבו המשמש כנגד. הקיבול של הכדור הינו . (נשים לב שהיחידות של קיבול הינן יחידות אורך). ההתנגדות הינה . נחלק את החומר המוליך לקליפות שעוביין  ושטחן . נחשב את ההתנגדות:

      מעגל RC: . במקרה שלנו:

3. ההספק: .
   
   האנרגיה הינה: .
   
    האנרגיה שהפכה לחום שווה לאנרגיה האלקטרוסטטית ההתחלתית של המערכת, והיא .